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カオス

キーワードカオス

定義

  1. http://ja.wikipedia.org/wiki/カオス理論
    1. カオス理論(カオスりろん)は、決定論的な動的システムの一部に見られる、予測できない複雑かつ不規則な様子を示す現象を扱う理論である(ここで言う予測できないとは、現在人間の持っている数値計算手段ではという意味で、例えのことである)。カオスの定義は、研究者ごとに違い、統一的な見解は得られていないが、およそ以下の性質を持つものとされている。
      1. 周期性を持たない
      2. リアプノフ指数が正
      3. 何らかのポアンカレ写像により、テント写像が確認できる(後述するローレンツカオスの場合)
    2. また、カオスには以下の特徴が現れる。
      1. 自己相似
      2. 単純な数式から、ランダムに見える複雑な振る舞いが発生する
      3. 初期値のごくわずかなずれが、将来の結果に甚大な差を生み出す(バタフライ効果)
      4. 過去の観測データから将来の長期予測が困難となる
    3. 一部のシステムが複雑な振る舞いをするのは、その振る舞いを表す方程式の非線形性が原因である(後述するローレンツカオスの場合、テント写像により引き起こされる)。自然界において観察できるシステム(大気、プレートテクトニクス)や、社会的なシステム(経済、人口増加)などは、カオス的振る舞いを示すものが多い。
    4. ・・
    5. 1892年から1899年、ポアンカレは、3体問題では保存量が不足し積分法による解析解が得られないことを証明した(このような系を非可積分系と呼ぶ)。彼は、この場合に軌道が複雑となることを示唆している。ただし、この時点では、その実態は認識されていなかった。
    6. ・・
    7. 京都大学工学部の上田士爾蓮1961年に既に、非線形常微分方程式を解析する電気回路で発生したカオスを物理現象として観測し、不規則遷移現象と称してカオスの基本的性質を明らかにしていた。しかし、日本の学会ではその重要性が認識されず長い間日の目を見なかった。この上田の発見は、ジャパニーズアトラクターとして海外で評価されている。
    8. これらの複雑な軌道の概念は1975年、ヨークとリーによりカオスと呼ばれるようになった。また、マンデルブロ集合で有名なブノワ・マンデルブロなどにより研究が進んだ。
    9. ・・
    10. ロジスティック写像
      1. 二次方程式を用いた写像
      2. X(n+1)=a*X(n)*(1-X(n)):0<=a<=4、0<=x(0)<=1
      3. ロジスティック写像と呼ぶ。もともとロジスティック方程式という連続時間の微分方程式として、19世紀から知られていたが、写像として時間を離散的にすることで、極めて複雑な振舞いをすることが1976年ロバート・メイによって明らかにされた。
      4. (図あり)

区別

http://www.d.dendai.ac.jp/lab_site/ckt/ramda/lambda_double-scroll.htm

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http://nl.is.tokushima-u.ac.jp/node4.html

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    3. カオス回路の構成,解析
    4. 非線形定係数常微分方程式を物理的に表現するもっともシンプルな方法は, 電気回路を使うことでしょう. 机上論やコンピュータシミュレーションと,実際の物理系の応答が, 相当の精度で一致することを確認できるもっとも身近な存在が電気回路なのです. 最近新たに単純な構成のカオス発振器を実現しました. この回路を多数接続させた場合の同期現象がもっとも 興味深いのですが,回路の対称性が深く関わって来るため, 対称性の数理的取り扱いとともに計算機援用解析が重要となります. そう,計算機もバリバリに使いこなして徹底的にカオス力学系を調べ尽くしましょう.
  1. アトラクタが生じるということは、カオスとは言えないのではないか?
  2. カオスといえども、値の取りうる範囲はきまっているのだろうから、その範囲をxxすれば、アトラクタが生じるのは当然だ、ということになるのか?

p.21、『複雑系脳理論』

    1. カオスは微分方程式や差分方程式のような確率的な要素を法則の中に含まない系すなわち力学系の解の一つである。
      1. 通常、力学系の位相推移的な吸引集合はアトラクターを呼ばれ、低次元力学系の場合、
        1. 不動点(定常解)、
        2. リミットサイクル(周期解)、
        3. トーラス(準周期解)、
        4. ストレンジアトラクター(カオス解)
      2. がある。このストレンジアトラクターがカオス運動の数学的な表現であるが、それはもともと3次元リソッドトーラスの不安定化によって形成される構造体をさすので特殊な表現である。そこで最近では、
        1. カオス運動を表現する構造体をカオスアトラクターもしくは単にカオスと呼ぶことが多い。
      3. 一般に、カオスは可算濃度を持つ不安定な周期解(従って、理想的には存在しうる周期解すべて)と非可算濃度をもつ非周期解の混合物である」。
  1. p.52、p.59 などでは、解が複数の直線状の《群れ》(クラスター)に分かれた「カントールコーディング」とやらの絵がある。(p.50の絵は、彗星状にやや拡散した《群れ》)。

Last modified:2008/04/19 17:42:54
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References:[《体外直知時空》] [《自己言及関数の群れ》]