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GIFアニメで見る線形代数

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行列は単なる「数字の表」ではありません. m×n 行列 A には, n 次元空間から m 次元空間への写像という意味があります. この写像を観察しましょう.

こてしらべ: 対角行列の観察

◆まずは典型的な対角行列

       1.5    0
A =
       0    0.5
anim0.gif
  • 縦横に伸縮
  • 横方向は拡大(1.5倍), 縦方向は縮小(0.5倍)
  • 各升目の面積は, 1.5 * 0.5 = 0.75 倍になる. この面積拡大率 0.75 が det A. だから, 対角行列の行列式=対角成分の積.

◆対角成分に0があると…

        0    0
B =
        0    0.5
anim1.gif
  • 横が0倍 → ぺっちゃんこ
  • 面積拡大率 det A = 0

◆さらにマイナスまでいくと…

       1.5    0
C =
       0    -0.5
anim2.gif
  • 縦が-0.5倍 → 裏返し
  • こういうときが det A<0

固有値・固有ベクトルと対角化の観察

◆対角じゃない一般の行列だと, こんなふうに歪みます

       1    -0.3
D =
       -0.7    0.6
anim3.gif
  • 歪む
  • それでも「曲がる」わけじゃなく, 直線は直線, 平行は平行のまま
  • A の 1 列目が (1,0)^T の行き先, 2 列目が (0,1)^T の行き先 (^T は「転置」. 縦ベクトルにしろということ). この二つを知れば, 全体の移り具合も見当つく

◆固有ベクトルを描くと…

anim4.gif
  • 矢印は伸び縮みするけど, 方向は変わらない. こういうのが固有ベクトル.
  • 伸縮率が固有値. 伸びてる方は固有値1.3, 縮んでる方は固有値0.3

◆固有ベクトルの方向に斜交座標をとると…

anim5.gif
  • 座標軸方向にそった伸縮だけになる
  • つまり, こういううまい座標をとれば, 対角行列のときと同じような状況にできる. これが対角化ということ.
  • 各升目の面積は, 1.3 * 0.3 = 0.39 倍. だから面積拡大率 det A = 0.39 = すべての固有値の積.

ランクと正則性の観察

◆行列によっては, 空間がぺちゃんこにつぶされることもあります

       0.8    -0.6
E =
       0.4    -0.3
anim6.gif
  • 移った先はぺっちゃんこ(一直線). この直線が A の像(Im A).
  • 移った先(Im A)の次元数をランクという. この例では直線だから1次元(rank A = 1).
  • つぶれるということは, 移った先の次元が元より減るということ(rank A < 2). こういうのが特異行列. もしつぶれなければ rank A = 2 のはずで, そういうのが正則行列.
  • つぶれてるんだから, 面積拡大率 det A = 0
  • (1,0)^T の移り先(A の 1 列目)と (0,1)^T の移り先(A の 2 列目)が, 独立な方向じゃなくなってる

◆固有ベクトルを描くと…

anim7.gif
  • つぶれる=固有値0

◆固有ベクトルの方向にまた斜行座標をとると…

anim8.gif
  • 固有値0の固有ベクトル v にそった直線上の点は, みんな原点に移ってしまう. この直線が A の核(Ker A).
  • 他についても, v と平行な直線上の点はみんな一点に移ってしまう.
  • ということは, 移り先を聞いても, 元がどこだったかは特定できない. 逆行列が存在しないというのはこういうこと.
  • もとの次元数(平面だから2次元) - つぶれた次元数(Ker A は直線だから1次元) = 残った次元数(Im A も直線だから1次元). これが次元定理.

行列式の交代性の観察

◆行列 D の列を入れ替えると…

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       -0.3    1
F =
       0.6    -0.7
  • 裏返しになる. こんなときが面積拡大率 det A < 0
  • 行列 D と比べると, 枠の平行四辺形は同じだが中身が裏返し. だから det F = - det D
  • 行列式の交代性とはこういうこと

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Last modified:2017/06/19 20:04:10
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